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無中置閏可靠嗎?
前言
在古代一百多種曆法當中,絕大部分採用陰陽合曆。也就是以太陽的實際視運動
週期來訂出年的長短,並以月亮的盈虧週期為月的單位。由於兩者之間沒有一個
確切的整數倍關係,因此在陰陽合曆的調整措施就頗為複雜。一直到清代以後才
改以定氣注曆,以「無中置閏」的方法調整陰曆來配合太陽的造成的氣候變化。
到底「無中置閏」可靠嗎?
節氣的介紹
由於地球自轉軸的傾斜,造成了環境的冷熱變化之外,也讓每日的日夜長短不一
,種種的自然現象無不深深地影想著我們的作息。為了區分太陽的造成的氣候變
化,除了以陽曆來紀錄之外,在中國務農的傳統社會裡卻是習慣於節氣與中氣的
使用。什麼是節氣與中氣呢?我們將一個回歸年(或稱太陽年)劃分成24等分,
在陽曆的月初則稱為節氣,中間則稱為中氣。若是以目前的天文學來區分則更簡
單了!春分表示太陽在黃道經度0度,清明則在黃道經度15 度。依此以間隔黃道
經度15度往後推演,經過24個之後又會再次循環不已。換句話說,節氣實際上等
於是一種陽曆的計數單位。
小寒節氣 約1月5日~1月19日 大寒中氣 約1月20日~2月3日
立春節氣 約2月4日~2月17日 雨水中氣 約2月18日~3月4日
驚蟄節氣 約3月5日~3月19日 春分中氣 約3月20日~4月4日
清明節氣 約4月5日~4月19日 穀雨中氣 約4月20日~5月4日
立夏節氣 約5月5日~5月20日 小滿中氣 約5月21日~6月4日
芒種節氣 約6月5日~6月20日 夏至中氣 約6月21日~7月6日
小暑節氣 約7月7日~7月22日 大暑中氣 約7月23日~8月6日
立秋節氣 約8月7日~8月22日 處暑中氣 約8月23日~9月6日
白露節氣 約9月7日~9月22日 秋分中氣 約9月23日~10月7日
寒露節氣 約10月8日~10月22日 霜降中氣 約10月23日~11月6日
立冬節氣 約11月7日~11月21日 小雪中氣 約11月22日~12月6日
大雪節氣 約12月7日~12月21日 冬至中氣 約12月22日~1月4日
什麼是無中置閏?
一個回歸年長度約為365.2421903日。
一個朔望月的平均長度約29.530589日。
讓我們來做個簡單的比較:
(1)19個太陽年約 6939.6016日
(2)235個朔望月(相當於19個陰曆年加7個朔望月),長度約 6939.6884日
換句話說,若是我們希望陰陽合曆的話,最起碼也得在19個太陽年之中安插7個朔
望月才能得到彼此間近似的公倍數,因此 19 個太陽年7閏的用法大致是吻合的。
當然還有精確的用法,例如334個太陽年123閏等。
接下來的問題是,那倒底要閏哪一個月比較合適呢?還是隨便選擇呢?為了閏月的
規則,確實是陰陽合曆的一個頭痛的問題。一直到清代以後才改以定氣注曆,以「
無中置閏」的方法來調整閏月的棘手問題。
「無中置閏」的用法十分簡單,在一個朔望月期間,若是只遇到節氣而無中氣的話
,則該月必須閏月。舉個例子:
1998年6月24日(初一)
1998年7月22日(二十九)
1998年7月7日(十四)小暑
期間只遇到一個節氣「小暑」,沒有中氣,閏五月。
最讓我們納悶的不是「無中置閏」的規則,而是這樣簡單的法則真的可以在19個太
陽年之中安插7個朔望月,或是進一步地在334個太陽年中有123 個閏月。當真這麼
巧合?
無中置閏可靠嗎?
為了證明「無中置閏」的經驗法則的適用性,我們用簡單的機率觀點來看待這個古
老的成就。
一個回歸年長度約為365.2421903日。
一個朔望月的平均長度約29.530589日。
因此我們把回歸年除以12以後可以得到一個平均節氣的長度約為 30.436825日,它
可是比一個朔望月還長了 0.902365日。
我們不難發現,若是朔望月的邊點A 落在平均節氣的δ區間內,就會有該月沒有卡
到中氣的情況發生。而且我們還可進一步地說明它的發生率:
P= 0.902365 ÷ 30.436825 = 0.029647064
P 是代表在一個朔望週期之中發生沒有中氣的機率,或者說是該置閏月的機率。由
此我們可以推算在235個朔望週期之中的閏月期望值是
N1= 235×P = 6.96706004
想必這個數值已經非常接近7了。可見用「無中置閏」的法則,在機率的驗證之下
的確有19個太陽年之中安插7個朔望月的作用。
那我們再次推算在334個太陽年中有的閏月期望值是多少?
N2= N1×334÷19 = 122.47
基本上已經很接近123次閏月了,但是仍有誤差。因為這樣的結果會導致在630個太
陽年之間少閏了一次。因此「無中置閏」的經驗法則真的可靠嗎?留待歷史公斷
吧!
節氣發生閏月的機率
我們之前提到春分是太陽位於黃道經度0度的中氣,下一個中氣應該是穀雨,它則
於黃道經度30度。由於地球以微橢圓繞行太陽公轉,因此每繞行離角30度的時間
長短不一。
1春分 ~ 穀雨 30.460日
2穀雨 ~ 小滿 30.964日
3小滿 ~ 夏至 31.331日
4夏至 ~ 大暑 31.453日
5大暑 ~ 處暑 31.293日
6處暑 ~ 秋分 30.900日
7秋分 ~ 霜降 30.387日
8霜降 ~ 小雪 29.897日
9小雪 ~ 冬至 29.554日
10冬至 ~ 大寒 29.443日
11大寒 ~ 雨水 29.589日
12雨水 ~ 春分 29.971日
我們不難發現,在冬至到大寒的間隔29.443日遠比一個朔望月來的短。因此一個
朔望月絕對可以在此區間卡到一個節氣與中氣,所以根本沒有機會閏月。以下是
每個節氣遇到閏月的機率,我們以上表的排序為橫軸,機率為縱軸,此外我們計
算了前後兩百年區間的閏月,來與機率估算值比較(圖三)。由於取樣的數據太
少(n<60),不過仍能發現它們的相關性。
結論
有了機率的工具,可以協助我們對以往觀察天象訂節氣多一個認識。也許「無中
置閏」的古老方法在若干年後真的會有所爭議,但是他仍然是一個令人嘆為觀止
的方法。一個簡單,而且看不出有任何數學原理的規則,卻能適用如此長久的時
間。相較於目前採用的陽曆閏年方式,實在高明太多了。