http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/calendar/cal.pdf
http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/calendar/chinese.html

簡略翻釋如下，錯誤難免，請各位大大不吝指正

一、The basic data of the paper：

1、各項統計分析以1645到2644這1000年為主。見page2！

2、各種有關"年"的定義：見page7！
天文使用的恒星年(sidereal year)：365.25636平太陽日，恆星年 (sidereal year)的正確定義： "歲差" 是什麼呢？在古中國的曆法上，歲差是指「冬至點」在恆星間西移的現象。希臘天文學家 伊巴谷斯 (Hipparchus)，在西元前第二世紀發現了歲差現象。中國發現歲差的第一人是南北朝的虞喜 (大約在 330AD左右)，但將歲差的因素，列人編曆的考量的第一人是《大明曆》的編著者祖沖之。

讓我們進一步探討歲差對曆法的影響。編曆工作的重要數據之一是回歸年 (tropical year) 的長度，它是從上個春分點 (或冬至點) 到下個春分點 (或冬至點) 所經過的時間。我們也可以選一顆很遙遠的恆星作為參考點，而定義一年為從地球看出去，太陽連續兩次通過 "地球-太陽-恆星連線" 所經過的時間，這就是恆星年 (sidereal year)，恆星年長度為 365.2564天。由於地軸的進動，太陽公轉還沒有回到前次的位置，就遇到春分點，所以回歸年較恆星年短，只有365.2422天，也就是比恆星年短20分24秒。如果編曆者使用恆星年編曆，而未把歲差的因素列入考量，而且後來也未再編新曆法，經過12000年後，北半球的七月就會變成冬天了。

中國的古曆在《大明曆》皆未算入歲差，所以需要頻頻改曆，以維持曆法的正確性。
現在使用的迴歸年(tropical year)：365.24219平太陽日，太陽運行黃經360度所花費的時間。
中國古代使用的冬至迴歸年(December solstices tropical year)：365.242740平太陽日，地球運行冬至間所花費的時間。
西方古代使用的春分迴歸年(March equinoxes tropical year)：365.242374平太陽日，地球運行春分間所花費的時間。


3、有關歲差(precession)的討論：page6、7、8！
歲差即恒星年與迴歸年之間的差數，約50角秒，約等於20分鐘。
約25800年回到原點，約2100年移動一個"鐘位"(即一個宮位，30度)。
首先發現者：Hipparchos於150BCE，東方為虞熹於320CE，
首先提出解釋：牛頓；首先使用在中國曆法上：郭守敬於1276CE
歲差(precession)造成各節氣每年西移，連帶使得各節氣之間的相距長度與時間，每年改變。連帶使得合朔隨著節氣做週期變化。
目前北半球冬天時，地球在軌道上運行較快，在10500年後，地球在北半球夏天時運行較快。參考Kepler's second law.


4、有關月球公轉週期(lunation；or the synodic month)的討論：page9！
lunation的定義：前後二次與太陽會合的時間。與太陽會合之時稱為new Moon，即太陽與月球視黃經同度數。
lunation的範圍：29.84到29.27平太陽日。大週期平均值為：29.530588853平太陽日。
因為Kepler's second law.地球在不同節氣運行的速度不同，使得在近日點附近lunation變長，大月機率增加，最長可至29.84多天。
地球在遠日點附近lunation變短，小月機率增加，最短可至29.27多天。


5、有關月球年(lunar year)的討論：page9、10、12、19、20(p28中間的table)！
月球年(lunar year)的定義：12個lunations為一月球年，平均約為：354.36707平太陽日。
春分迴歸年(March equinoxes tropical year)：365.242374平太陽日，大於lunar year約11天。
２３５lunations約等於１９tropical years
6939.6884天約等於6939.6018天，約相差2小時。
每２２０年相差一天，稱為章動(zhang cycle, or metonic cycle)，古希臘人Meton於432BCE使用於曆法，巴比倫人500BCE前得知，
中國人600BCE前發現，但於104BCE才使用於曆法。


6、有關19迴歸年閏7次月的討論：page12、19、20、(p28中間的table)！
２３５lunations＝１９lunar years＋７lunations
２３５lunations約等於１９tropical years
so每19tropical years插入7個閏月(leap months)，使用於104BCE的中國曆法，現代並不使用。
使得平年等於12個lunations=354.36707平太陽日少迴歸年11天(也可能是10或12天)；
閏年13個lunations約等於384平太陽日，多迴歸年19天(也可能是18或20天)。
產生三階跳規則(three step dance)。


7、有關現在普遍使用的西曆的討論：page10、11！
現在使用的西曆為格雷高曆(Gregorian calendar)，平年365天，閏年366天，(補充：除了二月份平年28天，閏年29天外，
其它月份天數固定不變。一、三、五、七、八、十、十二月為大月，四、六、九、十一月為小月。)
符合下列條件之一為閏年：
年份被四整除，但不被一百整除。
年份被四百整除。
故1900年不是閏年，但2000年是閏年。
格雷高曆(Gregorian calendar)以400年為週期，平均每年為365.2425平太陽日，較春分迴歸年：365.242374平太陽日，多出27秒左右。
因此作者建議：被4000整除的年份不是閏年。


8、曆法分類與定氣、定朔、平氣、平朔相關的討論：page13、15、16！
目前的中國的農曆(Chinese calendar)屬於陽陰曆(lunisolar calendar)也屬於天文曆。
格雷高曆(Gregorian calendar)屬於陽曆(solar calendar)也屬於算術曆。
天文曆(astronomical calendar)採用實際天體的曆法。算術曆(arithmetical calendar)採用近似天體的曆法。
平朔(mean Moon)每月29.53天，使用於19年閏7個月，目前不使用。
定朔(true Moon)每月依實際合朔時間，定出lunation的天數(29.84到29.27平太陽日)。目前使用中！
平氣(mean Sun)每個中氣之間的時間固定不變，約365.24/12約30.44天，西元1645年以前使用。
定氣(true Sun)依實際地球運行速度，定出每個中氣之間的時間()，西元1645年以後使用。
中國人於七世紀即知"太陽在黃道運行的速度，依所在節氣不同"，但在1645年才將此列入曆法。


9、有關月份與24節氣的討論：page14、15、16
24節氣的定義：以黃道座標系為基準，春分為黃經0度，每一節氣相差黃經15度。
24節氣分為節與中氣，月份由所包含(contain)的中氣來決定，更精確的定義與解釋後詳述。

24節氣的編號順序與名稱、時間，見15頁表4



二、The rules of "The Mathematics of the Chinese Calendar"


Rule1：以東經120度為基準。page16！
Rule2：每日以00:00為起始，採半夜(midnight)換日。page16、17！
Rule3：每月以合朔(new MOON)為起始，即初一。page17！
Rule4：包含中氣冬至(December solstice)的陰曆月份為十一月，
如果有12個lunations介於去年冬至到今年冬至之間，則稱今年為閏年(leap sui)，(注意leap sui與leap year不同)page21！
Rule5：閏年(leap sui)中第一個不包含中氣的陰曆月為閏月(leap month)，閏月的月份與前一個月相同。page21！
(以下是根據paper內容加入，並非原來就有的規則編號)
Rule6：歲(sui)以每年冬至為起點，即冬至迴歸年為365.24270平太陽日。年(nian)以每年正月初一為起點，到下次正月初一的時間長度。
平年(normal nian)353或354或355平太陽日，閏年(leap year)383或384或385平太陽日。page19、20！
Rule6.1：每年以冬至後第二個合朔(new Moon)為起始，即正月初一。page28！
Rule6.2：每年以最接近立春的合朔(new Moon)為起始，即正月初一。page28！
Rule6.3：每年以大寒後第一個合朔(new Moon)為起始，即正月初一。page29！


三、The detail for the rules


Rule1：以東經120度為基準。page16！
1、西元1929年以前，中國採用東經116度25分時間(北京時間)。
2、西元1929年以後(含)，中國採用東經120度時間(UT+8)。
3、制定曆法的機構，1929到1948年由南京天文研究所負責，1949年後由南京紫荊山天文台負責。恰巧位於東經118度46秒，接近東經120度。
心得：發生在同一天的合朔與中氣，作者使用的排序法為：不管發生時間順序，一律以合朔在前，中氣在後。
而在東經120度同一天發生的合朔與中氣，在其它時區則可能不是同一天，而是相差一天，所以必須有這條規定。

Rule2：每日以00:00為起始，採半夜(midnight)換日。page16、17！
1、作者認為12時辰仍以23:00為起始。但是在曆法上，每日以半夜00:00(midnight)換日。
2、(補充半夜的定義：每日距離太陽視圓中心最遠的時候。)
心得：上述Rule1、Rule2在避免不同地區與不同換日時間，排出不同的日期。
只要Rule1與Rule2其中一點不同，就有可能產生不同的日期、月份、年份。
換句話說，按照這套曆法在美國所排出的日期、月份、年份，與在中國排出的會有所不同。
換句話說，按照這套曆法以23:00換日所排出的日期、月份、年份，與00:00換日排出的會有所不同。
其主因在同一天的合朔與中氣，不管發生時間順序，皆以合朔在前，中氣在後所造成。
落在23:00與24:00之間合朔或中氣，依定義不同會有不同的日期。



Rule3：每月以合朔(new MOON)為起始，即初一。page17！

1、不管合朔發生在當天何時，全天皆為初一。如果發生在23:00，則從上一個00:00到24:00之間，皆為初一。
如果中氣發生在同一天的01:00，則視為合朔之後，即使中氣比合朔快22小時，仍視為被初一所包含。

2、一個lunation平均約29.5天，但會隨著地球離太陽遠近，而有長短變化，會有大月30天，小月29天之分。見page17附表6！

3、平朔可能產生連續二個大月，但是定朔目前可能產生連續四個大月發生於冬天，或連續三個小月發生於夏天。
原因為Kepler's second law.見page18、19、與表7、表8！

4、full MOON(望)：(補充太陽與月球視黃經相差180度)，可能在陰曆14日、15日、16日、17日，原因為Kepler's second law.
所以中秋節(陰曆八月十五日)，不一定是月圓之日，而月圓之日依機率高低依序為16、15、17、14日，見page19的表9！
心得：這一條是所有規則中最沒有爭議的。作者使用黃道座標系，合朔或中氣必需非常接近24:00才會有疑義。


Rule4：包含中氣冬至(December solstice)的陰曆月份為十一月，
如果有12個lunations介於去年冬至到今年冬年之間，則稱今年為閏年(leap sui)，(注意leap sui與leap year不同)，見Rule6與page21！

1、假如合朔在冬至之後但不同一天，在11日之內，則"今歲"(the sui)為閏年(leap sui)。

2、假如合朔與冬至同一天，或冬至後第一個合朔超過12日，則"今歲"(the sui)為平年(normal sui)。

3、leap sui不等於leap year。2033年是一個leap year，但不是leap sui。2034年是一個leap sui，但不是leap year。見page22、23、24！

4、leap sui是一個含有13個lunations和12個中氣的冬至迴歸年，其中必有一個lunations沒有包含中氣。

5、採用定氣與定朔會有一個lunation含有二個中氣的情形。也會有一個sui(冬至迴歸年)中，有二個lunations都不包含中氣的情形。
見page16中間、page21！
疑問：不知道10500年後，北半球的冬至跑到遠日點附近時，則此規則是否須要修正？


Rule5：閏年(leap sui)中第一個不包含中氣的陰曆月為閏月(leap month)，閏月的月份與前一個月相同。page21！

1、只要週期夠久，任何月份皆有可能閏月。見前面有關歲差的解釋。

2、2033年year是一個非常特別的年份，它有二個lunations含有二個中氣的情形，於十一月與十二月。
也有二個lunations都不包含中氣的情形，於八月與閏十一月。見page21、22、23、24！

3、雙春年的定義為：leap year的頭尾皆包含節氣立春。page25

4、雙春雙雨年的定義為：leap year的頭尾皆包含節氣立春與雨水。1645到2644年共發生了15次。page25！

5、假閏月(fake leap month)，發生於月有二個中氣，或歲有二個無中氣的月。
閏年(leap sui)中第二個不包含中氣的陰曆月為假閏月(fake leap month)。

(以下是根據paper內容加入，並非原來就有的規則編號)
a、如果出現月有二個中氣的情形，且雨水為第二個中氣，則雨水前第一個合朔，通常為陰曆十二月初一。這條規則也就失敗。
b、由於這是原本就有的規則，或許作者想利用不同的規則來作不同的統計分析。

四、其它細節：
1、The 19-year cycle：雖然現在使用定氣定朔，不一定是19年閏7次月，但是這仍然是常見的現象。
a、1966到1984是18年閏7次月，因為這一循環都在春季閏月，而1984年在冬季月閏月。
b、1985到2004是19年閏4次月，但都不同月。
c、page31！以欄為單位，每欄或多或少都有些規律產生，如從左邊數過來第六欄，1816年閏六月，每增加十九年，一直到2044年，會有閏六月閏七月的循環。
d、就連陰曆日期也會有十九年循環，如page32表25中的春節日期！

2、六十干支循環：單數配單數，雙數配雙數共六十組。
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
１、２、３、４、５、６、７、８、９、10

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
１、２、３、４、５、６、７、８、９、10、11、12
天干循環六次、地支循環五次
a、作者發現了一個小技巧，用來計算每一組干支的序號。
如甲子(1，1)，第一個1代表甲，第二個1代表子。
如戊寅(5，3)，第一個5代表戊，第二個1代表寅。
如壬戌(9，11)，第一個9代表壬，第二個11代表戌。
則甲子(1，1)， （１＝10*0＋１＝12*0＋１），序號為１
則戊寅(5，3)， （15＝10*1＋５＝12*1＋３），序號為15
則壬戌(9，11) （59＝10*5＋９＝12*4＋11），序號為59
b、就2000年庚辰(５，７)而言，是金龍年，是因為庚屬金，辰為龍，見page33！
干支五行生肖表，(補充：庚辰年五形局恰巧是金局，故作者有此誤解)
c、干支循環的起始(也就是曆元)可能是下列年份：page33！
2697BCE(黃帝登基次年)、2637BCE(黃帝在位第六十一年)、2698BCE(使用了0年的概念)。
d、所以從曆元到現在2004年，總共循環了78次或79次干支循環，共4641或4701年。

3、曆法簡史：
a、由於君權神授的愚民政策，每一位帝王會行使不同的曆表，如果天象與曆表不吻合，被認為是上天對帝王的不信任，對社會安定產生很大的衝擊。
b、621 BCE以前，使用可見的眉月來定陰曆月份。十九年七閏使用於周朝，閏月置於最後一個月。漢朝太初曆改為無中氣的月份為閏月，接於上月；也定義包含冬至的月份為十一月。85到263CE東漢使用四分曆，章動得以被修正，只是無法精確定出合朔與中氣的時間，而使用平朔與平氣。619CE唐朝使用定朔。
定氣定朔使用於1645年清朝。1912民國施行西曆，但農曆仍使用於民間。
c、受耶蘇會傳教士的影響與康熙的支持，時憲曆得以頒佈施行。其間也有一些政爭，中國的欽天監也嘗到故步自封的苦果。
d、康熙真強，使用比賽的手法，坐享最新的天文知識。也為清朝帶來了昌明盛世。